Question

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，再根据过A，B两点，即可得出结果．
（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

时和

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．
（3）本题需先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交AC于E，再由题意可求得直线AC的解析式为，即可求出E点的坐标，从而得出结果即可．

解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得

16a+4b-2=0 a+b-2=0.

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
∴此抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；

（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
则P点的纵坐标为-

1

2

m2+

5

2

m-2，
当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当

AM

PM

=

AO

OC

，
∵C在抛物线上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

，
∴△APM∽△ACO，
即4-m=2(-

1

2

m2+

5

2

m-2)．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②当

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

时，△APM∽△CAO，即2(4-m)=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1），

当m＞4时，AM=m-4，PM=

1

2

m²-

5

2

m+2，
①

PM

AM

=

OC

OA

=

1

2

或②

PM

AM

=

OA

OC

=2，
把P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）代入得：2（

1

2

m²-

5

2

m+2）=m-4，2（m-4）=

1

2

m²-

5

2

m+2，
解得：第一个方程的解是m=-2-2

3

＜4（舍去）m=-2+2

3

＜4（舍去），
第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）
求出m=5，-

1

2

m²+

5

2

m-2=-2，
则P（5，-2），

当m＜1时，AM=4-m，PM=

1

2

m²-

5

2

m+2．
①

PM

AM

=

OC

OA

=

1

2

或

PM

AM

=

OA

OC

=2，
则：2（

1

2

m²-

5

2

m+2）=4-m，2（4-m）=

1

2

m²-

5

2

m+2，
解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=-3，
m=-3时，-

1

2

m²+

5

2

m-2=-14，
则P（-3，-14），
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14），
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为|-

1

2

t2+

5

2

t-2|．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=

1

2

x-2．
∴E点的坐标为(t，

1

2

t-2)．
∴DE=-

1

2

t2+

5

2

t-2-(

1

2

t-2)=-

1

2

t2+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S△DAC=

1

2

×(-

1

2

t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大，
∴D（2，1）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．