如图，梯形OABC，AB∥OC，∠B=90°，BC=2，底边OC与x轴重合，点D为BC的中点，且AD⊥OD．
（1）求证：△ABD∽△DCO；
（2）若双曲线y= $数学公式$ （x＞0）经过点A和点D，求k的值．

解：（1）证明：∵AB∥OC，∠B=90°，
∴∠B=∠DCO=90°，∠1+∠2=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△ABO∽△DCO

（2）解：过点A作AE⊥OC于点E，则四边形AECB是矩形，
∴AE=BC=2，AB=EC
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD= $\text{[math]}$ BC=1
∴A、D两点的纵坐标分别为2和1，
∵点A和点D都在双曲线上，
∴点A、点D的横坐标分别为 $\text{[math]}$ 和k，
∴OE= $\text{[math]}$ ，OC=k，
∴AB=EC=OC-OE= $\text{[math]}$
∵△ABD∽△DCO
∴ $\text{[math]}$
∴AB•CO=DC•BD
即： $\text{[math]}$ •k=1×1
解得：k=± $\text{[math]}$
∵双曲线在第一象限，
∴k= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在两个直角三角形中证得除去直角外相等的任意一对角相等即可证得两个直角三角形相似．
（2）首先求得A、D两点的纵坐标，然后根据两点均在双曲线上表示出其横坐标，然后利用上题证得的两三角形相似列出比例式即可得到有关k的方程求得k值即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合知识及相似三角形的知识，在代数知识中渗透几何知识是中考的热点考题之一，需要有很强的能力才行．

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（2012•普陀区一模）如图，梯形OABC，BC∥OA，边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，点B（3，4），AB=5．
（1）求∠BAO的正切值；
（2）如果二次函数y=

x2+bx+c的图象经过O、A两点，求这个二次函数的解析式并求图象顶点M的坐标；
（3）点Q在x轴上，以点Q，点O及（2）中的点M为顶点的三角形与△ABO相似，求点Q的坐标．

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（2012•潮阳区模拟）如图，梯形OABC，AB∥OC，∠B=90°，BC=2，底边OC与x轴重合，点D为BC的中点，且AD⊥OD．
（1）求证：△ABD∽△DCO；
（2）若双曲线y=

（x＞0）经过点A和点D，求k的值．

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（2012•长春一模）如图，梯形OABC中，OA在x轴上，CB∥OA，∠OAB=90°，O为坐标原点，B（4，4），BC=2，动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到点A停止，过点Q作QP⊥x轴交折线O-C

-B于点P，以PQ为一边向右作正方形PQRS，设运动时间为t（秒），正方形PQRS与梯形OABC重叠面积为S（平方单位）
（1）求tan∠AOC；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）求（2）中的S的最大值；
（4）连接AC，AC的中点为M，请直接写出在正方形PQRS变化过程中，t为何值时，△PMS为等腰三角形．

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