Question

已知抛物线y=x²+（k²-3k-4）x+2k与x轴从左至右交于A、B两点，且这两点关于原点对称．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，若反比例函数的图象与抛物线y=x²+（k²-3k-4）x+2k从左至右交于Q、R、S三点，且Q的坐标（-1，-1），R的坐标（，），S的坐标（，），求四边形AQBS的面积；
（3）在（1）、（2）条件下，在轴下方抛物线y=x²+（k²-3k-4）x+2k上是否存在点P，使S_△PAB=2S_△RAB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设A点坐标为（x₁，0），B点坐标为（x₂，0），
∵A、B两点关于原点对称，
∴x₁+x₂=0，
又x₁+x₂=-（k²-3k-4），
则k²-3k-4=0，
解得k₁=-1，k₂=4，
当k=4时，抛物线为y=x²+8，此时△=-32＜0，舍去；
当k=-1时，抛物线为y=x²-2，此时△=8＞0，
则抛物线与x轴交于两点，
故所求k值为-1；

（2）由（1）知A（，0），B（，0），
∴AB=，
则四边形AQBS的面积为：S_△AQB+S_△ASB=AB•|-1|+AB•||=×2+×2×=；

（3）∵抛物线的顶点坐标为（0，-2），假设满足条件的点P存在，
则∵S_△PAB=2S_△RAB，
∴点P的纵坐标为：2×（-）=-1-，
而-1-＜-2，
∴P点不存在．
即在x轴下方抛物线上不存在点P，使S_△PAB=2S_△RAB．
分析：（1）设A点坐标为（x₁，0），B点坐标为（x₂，0），由A、B两点关于原点对称，即可得x₁+x₂=0，又由x₁+x₂=-（k²-3k-4），即可求得k的值；
（2）由（1）知A（，0），B（，0），即可求得AB的长，又由四边形AQBS的面积为：S_△AQB+S_△ASB求得答案；
（3）由抛物线的顶点坐标为（0，-2），假设满足条件的点P存在，由S_△PAB=2S_△RAB，可得点P的纵坐标，即可得即在x轴下方抛物线上不存在点P，使S_△PAB=2S_△RAB．
点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，点与函数的关系以及四边形的面积求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．