Question

【题目】如图所示，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段、的长（）是方程的两个根，且点坐标为．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作∥交于点，连接. 设的长为，△的面积为，求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的基础上试说明是否存在最大值，若存在，请求出的最大值，并求出此时点的坐标，判断此时△的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(0<m<8);（3）当时有最大值，此时点的坐标为，△为等腰三角形.

【解析】

（1）通过解方程x210x＋16＝0得到二次函数图象上的点B、C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）用m表述出AE、BE的长，得到△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性质得到比例式，求出EF的表达式，利用sin∠FEG＝sin∠CAB＝得到，求出FG的表达式，再根据S＝S△BCES△BFE求S与m之间的函数关系，m的值不超过AB的长．

（3）将S＝m2＋4配方为S＝（m4）2＋8，求出S的最大值，进而判断出此时△BCE的形状．

（1）方程的两个根为2和8.

由于，所以，，故，点坐标为.

因为点坐标为，所以．

解得，.

故此二次函数的表达式为.

（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8m，

∵OA＝6，OC＝8，

∴AC＝10．

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC．

∴．

即．

∴EF＝．

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．

∴．

∴FG＝＝8m．

∴S＝S△BCES△BFE

＝（8m）×8（8m）（8m）

＝（8m）（88＋m）

＝（8m）m

＝，自变量m的取值范围是0＜m＜8．

（3）存在．

理由如下：

∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8．

∵m＝4，

∴点E的坐标为（2，0）．

∴△BCE为等腰三角形．