【题目】如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(<45°).先将△ABC以点B为旋转 中心,逆时针旋转90°得到△DBE,再将△ABC以点A为旋转中心,顺时针旋转90°得到△AFG,连接DF,DG,AE,如图②.
(1)四边形ABDF的形状是 ;
(2)求证:四边形AEDG是平行四边形;
(3)若AB=2,=30°,则四边形AEDG的面积是 .
【答案】(1)正方形;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)由旋转的性质和旋转角度可求得DE∥AF,且DE=AF,可证明四边形AFDE为平行四边形,再由旋转角是90°,即可得出结论;
(2)由旋转的性质和旋转角度判断出△ABE≌△DFG即可得出结论.
(3)过B作BH⊥AC于H,过点E作EM⊥AB于M,作∠BEN=∠ABE交AB于N,利用直角三角形的性质分别求出BH,AH,CH,BE,BC,计算出∠MNE=30°,设ME=x,则NE=2x,BN=x,利用勾股定理Rt△BME中解出x值,即ME的长度,再利用S四边形AEDG=S正方形ABDF-2S△DBE-2S△ABE计算结果即可.
解:(1)四边形ABDF是正方形,
证明:∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的,△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的,
∴∠DBA=∠FAB=90°,DB=AB=AF,AC=DE=AG,
∴∠DBA+∠FAB=180°,
∴DB∥AF,
∵AB=AC,
∴AB=DB=FA=AC=DE=AG,
∵DB∥AF,DB=AF
∴四边形ABDF是平行四边形,
∵∠ABD=90°,
∴四边形ABDF是矩形,
∵AB=DB,
∴平行四边形ABDF是正方形;
(2)∵四边形ABDF是正方形,
∴∠DFA=∠DBA=90°,AB=DF,
∴∠ABD-∠DBE=∠AFD-∠AFG,
∴∠EBA=∠GFD,
在△ABE和△DFG中,
,
∴△ABE≌△DFG(SAS),
∴AE=DG,
又∵DE=AG=AB,
∴四边形AEDG是平行四边形.
(3)过B作BH⊥AC于H,过点E作EM⊥AB于M,作∠BEN=∠ABE交AB于N,
∵AB=2,∠BAC=30°,
∴BH=AB=1,
AH=,
∴CH=AC-AH=AB-AH=2-,
∴BC==,
∴BE=BC=,
∵∠BDE=∠BAC=α=30°,DB=DE,
∴∠DBE=∠DEB==75°,
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=90°-75°=15°,
∴∠BEN=∠ABE=15°,
∴∠MNE=∠NBE+∠BEN=15°+15°=30°,
设ME=x,则NE=2x,BN=x,
MN=,
∴BM=BN+NM=2x+x,
在Rt△BME中,BM2+ME2=BE2,
即,
解得,(舍),
∴x=,
∴ME=,
∴S△DBE=S△ABC=AC×BH=×2×1=1,
S△ABE=AB×ME=×2×()=,
∴S四边形AEDG
=S正方形ABDF-2S△DBE-2S△ABE
=
=
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【题目】某工厂制作两种手工艺品,每天每件获利比多105元,获利30元的与获利240元的数量相等.
(1)制作一件和一件分别获利多少元?
(2)工厂安排65人制作,两种手工艺品,每人每天制作2件或1件.现在在不增加工人的情况下,增加制作.已知每人每天可制作1件(每人每天只能制作一种手工艺品),要求每天制作,两种手工艺品的数量相等.设每天安排人制作,人制作,写出与之间的函数关系式.
(3)在(1)(2)的条件下,每天制作不少于5件.当每天制作5件时,每件获利不变.若每增加1件,则当天平均每件获利减少2元.已知每件获利30元,求每天制作三种手工艺品可获得的总利润(元)的最大值及相应的值.
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【题目】国内猪肉价格不断上涨,已知今年10月的猪肉价格比今年年初上涨了80%,李奶奶10月在某超市购买1千克猪肉花了72元钱.
(1)今年年初猪肉的价格为每千克多少元?
(2)某超市将进货价为每千克55元的猪肉按10月价格出售,平均一天能销售出100千克,随着国家对猪肉价格的调控,超市发现猪肉的售价每千克下降1元,其日销售量就增加10千克,超市为了实现销售猪肉每天有1800元的利润,并且尽可能让顾客得到实惠,猪肉的售价应该下降多少元?
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【题目】某校团委决定从4名学生会干部(小明、小华、小丽和小颖)中抽签确定2名同学去进行宣传活动,抽签规则:将4名同学姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,既然从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出小明被抽中的概率.
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【题目】如图,在四边形中,.点从点出发,沿方向匀速运动,速度为同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为.过点作交于点,连接,交于点.设运动时间为.解答下列问题:
(1)当为何值时,?
(2)设五边形的面积为, 求与的函数关系式;
(3)连接.是否存在某一时刻, 使点在的垂直平分线上,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知如图所示的抛物线顶点的坐标为,且过点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点为抛物线对称轴右侧、轴下方一点,当时,求直线的解析式;
(3)平移(1)中的抛物线,记平移后抛物线的顶点为,顶点在直线上滑动,且平移后的抛物线与直线交于另一点,若点为平移前(1)中抛物线上的点,则当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点的坐标.
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