Question

【题目】如图，、是等腰两腰上的高，、相交于点．

（1）求证：；

（2）点在边的延长线上，过作交的延长线于点，作交的延长线于点．求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据“AAS”证明△BMC≌△CNB，可得∠OBC＝∠OCB，再根据经等角对等边可证结论成立；

（2）由＝－，可得PE－PF＝BM，由△BOM∽△BAN，得，再证明AM＝AN，代入整理可证结论成立．

解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵CM⊥AB，BN⊥AC，

∴∠BMC＝∠CNB＝90°，

又∵BC＝BC，

∴△BMC≌△CNB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC；

（2）连接OP，

∵PE//AB，PF//AC，

∴∠PEC＝∠BMC＝90°，∠PFB＝∠CNB＝90°．

∵＝－，

∴OC·BM＝OC·PE－OB·PF，

∵OB＝OC，

∴PE－PF＝BM．

∵∠BMC＝∠ANB＝90°，∠BMO＝∠NBA，

∴△BOM∽△BAN，

∴，

∴OM·BN＝BM·AN＝(PE－PF)·AN．

∵△BMC≌△CNB，

∴BM＝CN，

∵AB＝AC，

∴AM＝AN，

∴OM·BN＝(PE－PF)·AM，

∴AM·PF＋OM·BN＝AM·PE．