Question

【题目】直线与双线交于、两点，为第三象限内一点．

（1）如图1，若点的坐标为．

①______，点的坐标为______．

②不等式的解集为______．

③当，且时，求点的坐标．

（2）如图2，当为等边三角形时，点的坐标为，试求、之间的关系式．

Answer 1

【答案】（1）①-2，；②或；③；（2）mn=18

【解析】

（1）①直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出a；

由双曲线的对称性可知点A和点B关于原点对称，由关于原点对称的点横纵坐标分别互为相反数可得点B的坐标；

②结合图象可得求即为求使得直线在双曲线上方时自变量x的取值范围；

③连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和互余关系，可证得△ADO≌△OEC，由A点的坐标可得CE=OD=3，EO=DA=2，从而确定点C的坐标；

（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据等边三角形的性质，可得∠ACO=30°，可证明△ADO∽△OEC，由相似三角形的性质和锐角三角函数可用m、n表示出A点的坐标，代入反比例函数解析式可得到m、n间关系.

解：（1）①∵A(a,3)在双曲线上，

∴，

∴a=-2；

∵点A和点B在直线上和双曲线上，

∴点A和点B关于原点对称，

∵A(-2,3)，

∴B(2,-3).

故答案为：-2，；

②由图象可知直线在双曲线上方时对应的自变量x的取值范围为：或，

故的解集为或；

③如图，连接，作轴于，轴.

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在与中

（AAS）.

∴，，

∵，

∴，，

∴；

（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，

∵反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们都关于原点对称，

∴OA=OB，

又∵△ABC为等边三角形，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵∠AOD+∠DAO=90°，∠COE+∠BOE=90°，∠DOA=∠BOE，

∴∠DAO=∠COE，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

由于∠ACO=30°，

，

因为C的坐标为(m, n)，

所以CE=-m，OE=-n，

∴AD=，OD=，

所以A(,).

代入中，

得mn=18.