Question

如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，O为AC的中点，OE⊥OB交BC于点E．
（1）当=2时，求的值；
（2）当=1时，求的值．

Answer 1

解：（1）由=2，得到AC=2AB，
又∵O为AC的中点，
∴AC=2OC，
∴AB=OC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，
∴∠AFB=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
∵，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
则=1；

（2）过A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，
由（1）得∠AFB=∠OEC，
∴∠AFB=∠AGC，
又∵=1，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
在△ABF和△CGA中，
∵
∴△ABF≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∵CO=AC，OE∥AG，
∴CE=CG=AF，
∴=2．
分析：（1）由=2，得到AC=2AB，再由O为AC的中点，得到AC=2OC，可得出AB=OC，由∠BAC=90°，AD⊥BC，利用同角的余角相等得到一对角相等，再利用外角性质得出一对角相等，利用AAS得出△ABF≌△COE，由全等三角形的对应边相等得到AF=CE，即可求出所求式子的比值；
（2）由=1，得到AB=AC，过A作AG平行于OE，交BC于点G，由两直线平行得到一对同位角∠OEC=∠AGC，再由（1）得出∠AFB=∠OEC，等量代换得到一对角相等，由AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，得到三角形ABC为等腰直角三角形，AD为顶角平分线，可得出∠BAD=∠C=45°，利用AAS得出△ABF≌△CGA，利用全等三角形的对应边相等得到AF=CG，由O为AC中点且OE与AG平行，得到E为CG的中点，即CE为CG的一半，等量代换得到CE为AF的一半，即可求出所求式子的比．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．