Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于CD的直线相交于点G，连接DF，求四边形ADEF的周长．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，求出AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，由角的互余关系得：∠ABG=∠BCD，由ASA证明△ABG≌△BCD，得出AG=BD=2，BG=CD，由勾股定理得出CD=BG=2$\sqrt{5}$，由平行线证出△AFG∽△CFB，得出对应边成比例，得出AF=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，BF=$\frac{2}{3}$BG=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，证明△BDE∽△CDB，得出比例式求出DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由勾股定理求出BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，得出EF=BF-BE=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$，即可求出四边形ADEF的周长．

解答 解：∵∠ABC=90°，BA=BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵AG⊥AB，BG⊥CD，
∴AG∥BC，∠GAB=90°=∠DBC，
由角的互余关系得：∠ABG=∠BCD，
在△ABG和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAB=∠DBC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABG=∠BCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD=2，BG=CD，
∴CD=BG=$\sqrt{A{G}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{GF}{BF}=\frac{AG}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，BF=$\frac{2}{3}$BG=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∵∠DBC=90°，BG⊥CD，
∴△BDE∽△CDB，
∴$\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}$，即$\frac{DE}{2}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
解得：DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=BF-BE=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$，
∴四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{8\sqrt{5}}{15}$+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=2+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．