Question

【题目】已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．
（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵⊙M与OP相切于点P，

∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．

∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，

∴OP=2 ．

∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，

∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．

∴OK⊥PQ，QK=PK．

∴PK= = = ．

∴OK= =3．

∴点P的坐标为（ ，3）

（2）解：如图2，

设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，

∵点P（ ，3）在抛物线y=ax2+6上，

∴3a+6=3．

解得：a=﹣1．

则该抛物线的解析式为y=﹣x2+6

（3）解：当直线y=m与⊙M相切时，

则有 =2．

解得；m1=2，m2=6．

①m=2时，如图3，

则有OH=2．

当y=2时，解方程﹣x2+6=2得：x=±2，

则点C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．

同理可得：AB=2 ．

则S梯形ABCD= （DC+AB）OH= （4+2 ）×2=4+2 ．

②m=6时，如图4，

此时点C、点D与点N重合．

S△ABC= ABOC= ×2 ×6=6 ．

综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2 或6

【解析】（1）由切线的性质可得∠MPO=90°，根据勾股定理可求出PO，然后由面积法可求出PK，然后运用勾股定理可求出OK，就可得到点P的坐标．（2）可设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，然后将点P的坐标代入就可求出抛物线的解析式．（3）直线y=m与⊙M相切有两种可能，只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积．
【考点精析】通过灵活运用切线长定理和等腰三角形的性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）即可以解答此题．