Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（4，﹣5）；（3）或

【解析】

（1）由一次函数的解析式求出A、B两点坐标，再根据A、C两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；

（2）由平移的性质设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），代入抛物线的解析式则可求出点D的坐标；

（3）分两种情况讨论：①△COM∽△PFC，②△COM∽△CFP，可求得点P的横坐标．

解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，

∴A（3，0），B（0，﹣3），

∵点B关于x轴的对称点是C，

∴C（0，3），

∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C，

∴，

∴b＝2，c＝3，

∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，

设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），

∵D落在二次函数在第四象限的图象上，

∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，

m1＝1，m2＝﹣6（舍去），

∴D（4，﹣5），

（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），

∴，

解得，

∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，

令y＝0，则x＝，

∴M（，0），

∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C （0，3），

∴AO＝3，OC＝3，

∴∠OAC＝45°，

过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC，

∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，

设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝，

∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝，

①当△COM∽△PFC，，

∴，

解得m1＝0，舍去，，

②当△COM∽△CFP时，，

∴，

解得m1＝0（舍去），，

综合可得P点的横坐标为或．