Question

17．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，ED=6．求矩形ABCD的长和宽．

Answer 1

分析 由矩形的性质结合条件可证明△ABE∽△DAE，可求得AE，再利用勾股定理可分别求得AB、AD．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠DAE，
∴∠ABE=∠DAE，
∴△ABE∽△DAE，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{AE}{DE}$，即$\frac{2}{AE}$=$\frac{AE}{6}$，解得AE²=12，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
即矩形ABCD的长和宽分别为4和4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得AE的长是解题的关键．