Question

6．问题情景：如题1所示，已知点F是等腰直角△ABC的直角边AC的中点，AD⊥BF于E且交BC于D，易证∠ABE=∠DAC，请在此基础上解决以下问题：
（1）小明发现，若设AG是∠BAC的平分线并交BF于点G，如图2所示，即可证AG=CD，请你帮其说明理由；
（2）小颕发现，在（1）的基础上，连接DF，如图3所示，可证∠AFB=∠CFD，请你帮助小颕完善证明过程．

Answer 1

分析 （1）先由等腰直角三角形得出AB=AC，∠ACD=45°，再由角平分线的性质得出∠ACD=45°=∠BAG，即可得出△ABG≌△CAD；
（2）先由中点得出AF=CF，再由（1）得出的AG=CD，∠ACD=45°=∠BAG，即可得出△AFG≌△CFD，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AG是∠BAC的平分线并交BF于点G，
∴∠BAG=∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∵等腰直角△ABC，
∴AB=AC，∠ACD=45°=∠BAG
在△ABG和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠CAD}\\{AB=AC}\\{∠BAG=∠ACD=45°}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CAD，
∴AG=CG，
（2）∵点F是等腰直角△ABC的直角边AC的中点，
∴AF=CF，
由（1）知，AG=CD，∠FAG=∠ACD=45°，
在△AFG和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠FAG=∠FCD}\\{AG=CD}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CFD，
∴∠AFB=∠CFD．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定，中点的定义，解本题的关键是判断出△ABG≌△CAD，是一道中等难度的中考常考题．