Question

1．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|y₁-y₂|．
例如：点P₁（1，2），点P₂（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P₁与点P₂的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P₁Q与线段P₂Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q交点）．

（1）已知点A（0，1），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知M是直线y=-$\frac{1}{2}$x-2上的一个动点，
①如图2，点N的坐标是（-2，0），求点M与点N的“非常距离”d的最小值及相应的点M的坐标；
②若P是坐标平面内的一个动点，且OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，直接写出点M与点P的“非常距离”d的最小值及相应的点P和点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|1-y|=3，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y），根据|0-0|≥|1-y|，得出点A与点B的“非常距离”最小值为|0-0|=0，即可得出答案；
（2）①先确定出M点的位置，由M在直线y=-$\frac{1}{2}$x-2上，设出M点坐标，由条件可求得M点坐标及点M与点N的“非常距离”d的最小值；
②当点P在过原点且与直线y=-$\frac{1}{2}$x-2垂直的直线上时，点M与点P的“非常距离”最小，求出P（-$\frac{1}{2}$，-1），进而求解即可．

解答 解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|0-0|=0≠3，
∴|1-y|=3，
解得，y=4或y=-2；
∴点B的坐标是（0，4）或（0，-2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为0；

（2）①过N点作x轴的垂线，过M点作y轴的垂线，两条垂线交于点P，
连结MN，当点M在点N的右下方且使△PMN为等腰直角三角形时，点M与点N的“非常距离”最小．
设点M的坐标为（x₀，-$\frac{1}{2}$x₀-2），由PM=PN得|x₀+2|=|$\frac{1}{2}$x₀+2|，解得：x₀=0，或x₀=-$\frac{8}{3}$，
∴点M的坐标为（0，-2）或（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$），∴PM=PN=2，或$\frac{2}{3}$，
∴点M与点N的“非常距离”的最小值为$\frac{2}{3}$，相应的M的坐标为（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$）；
②当点P在过原点且与直线y=-$\frac{1}{2}$x-2垂直的直线上时，点M与点P的“非常距离”最小，设P（x，y）（点P位于第三象限）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
故P（-$\frac{1}{2}$，-1）．
-$\frac{1}{2}$-x₀=-1+$\frac{1}{2}$x₀+2，
解得x₀=-1，
则点M的坐标为（-1，-$\frac{3}{2}$），最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．理解题中“非常距离”的定义是正确解题的关键．