Question

11．如图∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线l．
（1）当点D恰好落在垂线l上时，求OA的长；
（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△A′O′B′，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△A′O′B′与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若B′O′与线段BA交于点P，连接PD，PA′，A′D，是否存在这样的t，使△PA′D是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据l⊥ON，可得∠DBA+∠ABO=90°．由∠MON=90°，得∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO=∠DBA．由题意知：∠BAD=90°，可得△ABO∽△BDA，从而求出OA
（2）分情况0≤t＜1； 1≤t＜4时； 4≤t≤5时，求出函数关系式．
（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），分两种情况讨论①当PA′=PD时，PA′²=PD²，②当PA′=A′D时，PA′²=A′D²，讨论即可得出结论．

解答 解：（1）∵l⊥ON，
∴∠DBA+∠ABO=90°．
∵∠MON=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DBA．
由题意知：∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠AOB=90°，
∴△ABO∽△BDA．
∴$\frac{OB}{AD}=\frac{OA}{AB}$．
由题意知：AB=2AD，OB=4，
∴$\frac{4}{AD}=\frac{OA}{2AD}$，
∴OA=8．
（2）当0≤t＜1时，如图1，

AA₁=2t，OB=4，OA=8，AB=4$\sqrt{5}$，
∵△AFA₁∽△AOB，
∴$\frac{OB}{AF}=\frac{{A}_{1}F}{OA}=\frac{A{A}_{1}}{AB}$，
∴AF=$\frac{4t}{\sqrt{5}}$，A₁'F=$\frac{2t}{\sqrt{5}}$，
S=S_△AFA1=$\frac{1}{2}$AF×A₁F=$\frac{4}{5}{t}^{2}$．
当1≤t＜4时，如图2，

在Rt△EHA₂中，A₂E=2t-2．A₂A=2t．AE=2，
∵△EHA₂∽△AOB，
∴$\frac{OB}{HE}=\frac{{A}_{2}E}{OA}$，
∴$\frac{4}{HE}=\frac{8}{2t-2}$
∴HE=t-1
∵△AGA₂∽△AOB，
$\frac{AG}{OB}=\frac{{A}_{2}G}{OA}=\frac{A{A}_{2}}{AB}$，
∴$\frac{AG}{4}=\frac{{A}_{2}G}{8}=\frac{2t}{4\sqrt{5}}$，
∴AG=$\frac{2t}{\sqrt{5}}$，A2G=$\frac{4t}{\sqrt{5}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AG×A₂N-$\frac{1}{2}$A₂E×EH=-$\frac{1}{5}{t}^{2}-2t-1$．
当4≤t≤5时，如图3，

AA₃=2t，OA=8，AE=2，OE=BD=10，AO₃=2t-8，A₃E=2t-2，
HE=t-1，HA₃=$\sqrt{5}$（t-1），HD=5-t，
∵△DHG∽△HEA₃，
∴$\frac{DH}{HE}=\frac{DG}{AH}=\frac{HG}{E{A}_{3}}$
∴HG=$\frac{5-t}{\sqrt{5}}$，DG=$\frac{2（5-t）}{\sqrt{5}}$，
∵△A₃EH∽△AFO₃，
∴$\frac{AH}{A{O}_{3}}=\frac{EH}{F{O}_{3}}=\frac{{A}_{3}E}{AF}$
∴FO₃=4（4-t），
∴S=$\frac{1}{2}$AE×DE-$\frac{1}{2}$HE×A₃E-$\frac{1}{2}$AO₃×FO₃=-$\frac{21}{5}{t}^{2}+34t-65$．
（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），理由如下：
如图4，

由题意知：BB'=AA'=2t，O′A′=OA=8，DE=B′O′=BO=4．
∵△BB'P∽△AOB，
∴$\frac{BB'}{AO}=\frac{B'P}{BO}$，
即 $\frac{2t}{8}=\frac{B'P}{4}$，
∴B'P=t．
∵△DAE∽△ABO，
∴$\frac{AE}{BO}=\frac{DE}{AO}$，
即$\frac{AE}{4}=\frac{4}{8}$，
∴AE=2，
∴BD=OE=OA+AE=10．
∴PO′=4-t，B′D=10-2t，A′E=10-8-2t或2t+8-10．
在Rt△PO'A'中，PA'²=PO'²+O'A'²=t²-8t+80．
在Rt△PB'D中，PD²=PB'²+B'D²=5t²-40t+100．
在Rt△A'DE中，A'D²=DE²+A'E²=4t²-8t+20．
①当PA′=PD时，PA′²=PD²，即t²-8t+80=5t²-40t+100，
解得${t}_{1}=4+\sqrt{11}$．${t}_{2}=4-\sqrt{11}$
∵0≤t≤4，
∴t=4-$\sqrt{11}$．
②当PA′=A′D时，PA′²=A′D²，即t²-8t+80=4t²-8t+20，
解得t=±2$\sqrt{5}$．
∵0≤t≤4，
∴此种情况不成立．
③当PD=A'D时，PD²=A'D²，即：5t²-40t+100=4t²-8t+20，
∴t=16±4$\sqrt{11}$，
∵0≤t≤4，
∴t=16-4$\sqrt{11}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解本题的关键是画出图形，难点分类讨论．