Question

20．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a＞0）的图象经过点A（3，6），并与x轴相交于B、C两点（点B在点C右侧），且S_△ABC=12，∠ACB=45°．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若D是线段AC上一点，且以D、O、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）设直线y=1为直线l，将二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AE⊥x轴于E．首先求出A、B、C三点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形①当△DOC∽△ABC时，②当△ODC∽△ABC时，分别列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，①设直线l：y=1与抛物线的左边的交点为P，则过P平行AC的直线与新图象有3个不同公共点，②设l下方部分翻折后的抛物线为L，则与AC平行且和L相切的直线也符合条件，分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E．

∵A（3.6），S_△ABC=12，
∴$\frac{1}{2}$×BC×6=12，
∴BC=4，
∵∠ACB=45°，
∴CE=AE=6，
∴BE=2，
∴B（1，0），C（-3，0），
∵二次函数经过A、B、C三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=6}\\{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$．

（2）如图2中，

由（1）可知B（1，0），C（-3，0），A（3，6）
∴BC=4，AC=6$\sqrt{2}$，
①当△DOC∽△ABC时，有$\frac{DC}{AC}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{DC}{6\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴DC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，过D作DM⊥x轴于M，则△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE=$\frac{9}{2}$，OE=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
②当△ODC∽△ABC时，有$\frac{DC}{BC}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{DC}{4}$=$\frac{3}{6\sqrt{2}}$，
∴CD=$\sqrt{2}$，同理可得D（-2，1），
综上所述点D坐标为（-2，1）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．

（3）如图3中，

∵直线AC的解析式为y=x+3，设所求直线的解析式为y=x+m，
①设直线l：y=1与抛物线的左边的交点为P，则过P平行AC的直线与新图象有3个不同公共点，
令y=1，则$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=1，交点x=-1$±\sqrt{6}$，
∴P（-1-$\sqrt{6}$，1），代入y=x+m得m=2+$\sqrt{6}$，
∴y=x+2+$\sqrt{6}$．
②设l下方部分翻折后的抛物线为L，则与AC平行且和L相切的直线也符合条件，
∵L的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+4，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-\frac{1}{2}（x+1）^{2}+4}\end{array}\right.$消去y得x²+4x+2m-7=0，
由题意△=0，
∴16-4（2m-7）=0，
∴m=$\frac{11}{2}$，
∴直线为y=x+$\frac{11}{2}$，
综上所述返回条件的直线的解析式为y=x+2+$\sqrt{6}$或y=x+$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的解题思想，属于中考压轴题．