Question

1．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，AE⊥DE，∠DAE=30°，若DE=m+n，且m、n满足m=$\sqrt{n-8}$+$\sqrt{16-2n}$+2，试求BE的长．

Answer 1

分析 根据二次根式的意义求出m、n，得出DE，再由含30°角的直角三角形的性质得出AD，由矩形的性质得出∠ADC=90°，BC=AD=20，得出∠CDE=30°，求出CE，即可得出BE的长．

解答 解：∵m、n满足m=$\sqrt{n-8}$+$\sqrt{16-2n}$+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-8≥0}\\{16-2n≥0}\end{array}\right.$，
∴n=8，
∴m=2，
∵DE=m+n，
∴DE=10，
∵AE⊥DE，∠DAE=30°，
∴AD=2DE=20，∠ADE=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BC=AD=20，
∴∠CDE=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$DE=5，
∴BE=BC-CE=20-5=15．

点评 本题考查了二次根式有意义的条件、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握二次根式有意义的条件、矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．