Question

已知，如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，OC，以下四个结论：
①AD=BE；②三角形CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE
其中正确的结论有

 

（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，所以①正确；对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC=PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，所以②正确；再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，求出∠BOA=60°，根据三角形的内角和定理求出∠BPO不是90°，即可判断③；根据三角形面积公式求出CN=CM，根据角平分线性质即可判断④．

解答：解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，

∠CAD=∠CBE AC=BC ∠ACB=∠BCQ=60°

，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∵∠PCQ=180°-60°-60°=60°，
∴△PCQ是等边三角形，故②小题正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAC+∠CEB=∠DAC+∠ADC=∠DCE=60°，
∵○CBE+∠CEB=∠ACB=60°，而BC≠CE，
∴∠CPB≠30°，
∴∠BPD≠90°，
∴③错误；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△BCE≌△ACD，
∴S_△BCE=S_△ACD，BE=AD，
∴

1

2

×BE×CM=

1

2

×AD×CN，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线性质，平行线的判定的应用，需要多次证明三角形全等，仔细分析图形是解此题的关键．