Question

20．在△ABC中，AB=AC，点O和I分别为△ABC的外心和内心，点D在边AC上，OD⊥CI，求证：ID∥AB．

Answer 1

分析 首先证明B、I、O、D四点共圆，再证明∠2=∠CAB，于是根据平行线的判定定理得到ID∥AC．

解答 证明：（1）延长AO交BC于M，连接OC．
∵AB=AC，O为外心，
∴AM⊥BC，
∴AM平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠7，
∵I为内心，
∴点I在AM上，CI平分∠BCA，
∴∠3=∠ACI，
∵CI⊥DO，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，∠4=∠5，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠ACI，
而∠1+∠DOI=180°，
∴∠ACI+∠DOI=180°，
∴C、I、O、D四点共圆；
∴∠2=∠6，
∵点O为外心，
∴OC=OA，
∴∠7=∠OCA，
∴∠6=2∠7=∠2
而∠CAB=2∠7，
∴∠2=∠CAB，
∴ID∥AB．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握三角形内心与外心的性质、圆周角定理、四点共圆的判定方法和等腰三角形的性质；会运用平行线的判定定理证明两直线平行．