Question

12．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，将以上三个等式两边分别相加得$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$=$\frac{2012}{2013}$；
②加得$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2012×2014}$．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式得出拆项规律，写出即可；
（2）①原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
②原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$=1-$\frac{1}{2013}$=$\frac{2012}{2013}$；
②原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{503}{2014}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）①$\frac{2012}{2013}$；②$\frac{n}{n+1}$

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．