Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABEF，EP⊥l于P．
求证：2EP+AD=2CD．

Answer 1

证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，
∵l是AD的垂直平分线，
∴AM=MD=AD，l∥AH，
又∵四边形ABCD是直角梯形，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AH=CD，
∵PE⊥l，
∴EG⊥AH，
∴四边形AGPM是矩形，
∴GP=AM=AD，
∴∠AHB=∠AGE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
在正方形ABFE中，AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABH和△EAG中，
，
∴△ABH≌△EAG（AAS），
∴AH=EG，
∴CD=GP+PE=AD+PE，
即2CD=AD+2PE．
分析：首先作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，由l是AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得AM=MD=AD，l∥AH，即可证得四边形AHCD是矩形，继而可得四边形AGPM是矩形，然后利用AAS证得△ABH≌△EAG，则可得CD=GP+PE=AD+PE，继而证得2EP+AD=2CD．
点评：此题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．