Question

10．在平面直角坐标系中，点A坐标为（8，0），点B坐标为（0，8），点C为OA中点．

（1）如图1，过点O作OD⊥BC于点E，交AB于点D，求证：∠OBC=∠AOD；
（2）点M从C点出发向x轴正方向运动，同时点N从C点出发向x轴负方向运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，射线OE⊥BM于点E，交AB于点D，直线ND交BM于点K．
①如图2，当0＜t＜4时，请证明△KNM为等腰三角形；
②当t＞4时，△KNM是否还是等腰三角形，请画出图形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角直接判断出结论；
（2）①先求出OA，OB得出OA=OB，进而判断出△BOM≌△OAF得出OM=AF．即可判断出OM=AN=AF，再判断出△ADF≌△ADN即可得出结论；
②同①的方法即可．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∵OD⊥BC，
∴∠AOD+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠AOD
（2）①如图2，

 过点A作AE⊥x轴交OD的延长线于E，
∵点A坐标为（8，0），点B坐标为（0，8），
∴OA=8，OB=8，
∴OA=OB，
在△BOM和△OAF中 $\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠AOF}\\{OB=OA}\\{∠BOM=∠OAF}\end{array}\right.$
∴△BOM≌△OAF（ASA），
∴OM=AF．
∵点C为OA中点．
∴CO=CA，
∵点M，N的运动速度一样，
∴NC=MC．
∴OM=AN=AF
在△ADF和△ADN中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AN}\\{∠DAF=∠DAN}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△ADN（SAS）
∴∠DNA=∠F
∵∠BMO=∠F，
∴∠DNA=∠BMO，
∴△KMN为等腰三角形
 ②△KNM还是等腰三角形，
如图3，

过点A作AE⊥x轴交OD的延长线于E，
∵点A坐标为（8，0），点B坐标为（0，8），
∴OA=8，OB=8，
∴OA=OB，
在△BOM和△OAF中 $\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠AOF}\\{OB=OA}\\{∠BOM=∠OAF}\end{array}\right.$
∴△BOM≌△OAF（ASA），
∴OM=AF．
∵点C为OA中点．
∴CO=CA，
∵点M，N的运动速度一样，
∴NC=MC．
∴OM=AN=AF
在△ADF和△ADN中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AN}\\{∠DAF=∠DAN}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△ADN（SAS）
∴∠DNA=∠F
∵∠BMO=∠F，
∴∠DNA=∠BMO，
∴△KMN为等腰三角形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，等腰三角形的性质和判定，同角的余角相等，判断出AN=AF 是解本题的关键，是一道比较简单的中考常考题．