Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；
（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）首先得出AC=AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；
（2）利用△ACD≌△ABE，得出∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，结合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，∠GEM=∠GME，继而可得出结论；
（3）先大致观察三者的关系，过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，利用（1）的结论可将AF转化为NF，BG转化为NG，从而在一条直线上得出三者的关系．

解答：（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
在△ADC和△AEB中

AC=AB ∠CAD=∠BAE AD=AE

∴△ADC≌△AEB（SAS），

（2）△EGM为等腰三角形；
理由：∵△ADC≌△AEB，
∴∠1=∠3，
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．

（3）线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG．
理由：如图所示：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，
由（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
在△BFN和△BFA中

∠FBN=∠FBA BF=BF ∠BFN=∠BFA

∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质，难度较大，尤其是第3问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行．