[题目]如图.在平行四边形ABCD中.过点A作对角线BD的垂线.垂足为E.点F为AD的中点.连接FE并延长交BC于点G．(1)求证:,(2)若...求BG的长. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线，垂足为E，点F为AD的中点，连接FE并延长交BC于点G．

（1）求证：；

（2）若，，，求BG的长.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由直角三角形斜边中线定理，得到EF=DF，然后得到∠FED=∠FDE，利用平行线的性质和对顶角相等，得到∠EBG=∠BEG，从而得到BG=GE.

（2）由平行四边形和平行线的性质，可以得到△ABE为等腰直角三角形，根据计算得AE=BE=3，又AF=EF=3，可得△AEF为等边三角形，则∠EAD=60°，从而得到∠EBG=∠ADE=30°，进而得到BG的长度.

解：（1）证明：∵

∴

∵点F是AD的中点

∴

∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∵

∴

（2）∵四边形ABCD是平行四边形

∴，

∴

∵

∴

由（1）可得，

∴是等边三角形

∴

；

练习册系列答案

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解：如图①，∵AB∥CD（　　）

∴∠AGP＝∠GPD

∵CD∥EF

∴∠DPH＝∠EHP（　　）

∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH，

∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（　　）

拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP、∠EHP、∠GPH之间的关系，并说明理由．

应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝　　度．

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