Question

【题目】探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G、P、H分别在直线AB、CD、EF上，连结PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）．

解：如图①，∵AB∥CD（　 　）

∴∠AGP＝∠GPD

∵CD∥EF

∴∠DPH＝∠EHP（　 　）

∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH，

∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（　 　）

拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP、∠EHP、∠GPH之间的关系，并说明理由．

应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝　 　度．

Answer 1

【答案】探究：已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；

拓展：∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°，理由见解析；应用：70或290．

【解析】

探究：由于AB∥CD是条件，因此理由是“已知”，由于∠DPH与∠EHP内错角，因此由CD∥EF推出∠DPH=∠EHP的理由是“两直线平行，内错角相等”，由∠GPD+∠DPH=∠GPH得到∠AGP+∠EHP=∠GPH，是将∠GPD换成∠AGP，将∠DPH换成∠EHP，因此理由是“等量代换”；
拓展：由AB∥CD得到∠AGP+∠GPC＝180°，由CD∥EF得到∠CPH+∠EHP＝180°，

故∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP＝360°；
应用：分两种情况讨论，点Q在直线GH的左侧或点Q在直线GH的右侧时，分别运用探究和拓展得到的结论就可解决问题．

解：探究：∵AB∥CD（已知）

∴∠AGP＝∠GPD，

∵CD∥EF，

∴∠DPH＝∠EHP（两直线平行，内错角相等）

∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH

∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（等量代换）．

故答案分别为：已知；两直线平行，等量代换；

拓展：当点P在直线GH的右侧时，其他条件不变，如图2，∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°．理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠AGP+∠GPC＝180°，

∵CD∥EF，

∴∠CPH+∠EHP＝180°，

∴∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP＝360°，

即∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°；

应用：①当点Q在直线GH的左侧时，则有∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH．

∵∠GQH＝70°，

∴∠AGQ+∠EHQ＝70°；

②当点Q在直线GH的右侧时，则有∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360°．

∵∠GQH＝70°，

∴∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°．

综上所述：若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝70°或290°．

故答案为70或290．