Question

在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．

1.第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

2.第二小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图4．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

3.探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:如图5，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'与的大小关系．

 

Answer 1

 

1.连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，

B'C＝BC，∴△BB'C为等边三角形．∴∠B'CB＝60°，

（或由三角函数FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）

∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°………………………………………3分

2.分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．

在Rt△AHR中，AH＝AI＝4a，AH²＝HR²＋AR²，HR²＝a²，

则DP²＝FQ²＝HR²＝a²，

AD²＝AP²＋DP²＝6a²，AF²＝AQ²＋FQ²＝10a²，

新三角形三边长为4a、a、a．

∵AH²＝AD²＋AF²    ∴新三角形为直角三角形．

其面积为aa＝a²．∵a²＜15  ∴a²＜15

（或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI，即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似，求△HAI的面积也可以）

∴a的最大整数值为3．………………………………………………7分

3.将△BOC'沿BB'方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B'PR，

将△COA'沿A'A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQR．

由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA'＝AA'＝2，OP＝OB'＋B'P＝OB'＋OB＝BB'＝2．又∠QOP＝60°，则PQ＝OQ＝OP＝2，

又因为QR＋PR＝OC＋OC'，故O、R、P三点共线．因为S_△QOP＝，

所以S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'＝S_△AOB'＋S_△B'PR＋S_△PQA＜ …………10分

解析:所谓的难题就是一些知识点的综合，此题包括了图形的平移、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，有一定的难度。