Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1米/秒得速度从C点出发，沿CB向B移动.当其中有一点到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒.

（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式.

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值.

（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值.

 

Answer 1

（1）①3.75；②S=（0<t<5）;（2）当秒；秒；或秒时△CPQ为等腰三角形；（3）；

【解析】

试题分析：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，所以AC=10米.

由题意得：AP=2t，CQ=10-2t.

（1）①过点P作PD⊥BC于D.

∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5，

∴PD=AB=3.

∴S=×QC×PD=3.75.、

②过点Q作QE⊥PC于点E.

易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴，QE=.

∴S=.

（2）当秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；

（3）过点P作PF⊥BC于点F，则有△PCF∽△ACB.

∴，即.

∴PF=，FC=.

则在Rt△PFQ中，.

当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时.

整理得：，解得.

故⊙P与⊙Q外切时，；

当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t，此时.

整理得：，解得.

故⊙P与⊙Q内切时.

考点: 三角形的综合运用