Question

19．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=5，AC=3，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即AC⊥BD，再由DC=BC可知点D时BD的中点，故可得出AD=AB，由此可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，故可得出CD的长，再由圆周角定理可知∠B=∠E，故可得出∠D=∠E，由此可知CE=CD．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD．
∵DC=BC，
∴点D时BD的中点，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}-{AC}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DC=BC=4．
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CE=CD=4．

点评 此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．