Question

14．正方形的边心距为1，则半径为$\sqrt{2}$，边长为2；等边三角形的半径为2，则边长为2$\sqrt{3}$，面积为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图1，据题意首先求出OB、BE的长，即可解决问题．如图2，连接OB，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，由等边三角形的性质得出∠OBD=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC，由三角函数求出OD的数值，再由含30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD，即可得出结果．

解答 解：如图1，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠OBE=45°，而OE⊥BC，
∴BE=CE；
∵OE=1，
∴sin45°=$\frac{OE}{BO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，BC=2，
正方形的边心距为1，则半径为：$\sqrt{2}$，边长为：2；
连接OB，作OD⊥BC于D，如图2所示：
则∠ODB=90°，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵OB=2，
∴OD=1，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
BC=2$\sqrt{3}$，
面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{2}$，2，2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了圆内接正方形的性质及其应用问题和正三角形的性质和有关计算；解疑的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合运用能力提出了一定的要求．