Question

5．用换元法解下列方程：
（1）x-12+$\sqrt{x}$=0；
（2）x²+3x+$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=6．

Answer 1

分析 （1）设$\sqrt{x}$=a，将原方程化为关于a的一元二次方程解出，再代回$\sqrt{x}$=a，求出x；
（2）设$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a，将原方程化为a²+a-6=0，解这个一元二次方程，再代入$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a中求x．

解答 解：（1）x-12+$\sqrt{x}$=0；
设$\sqrt{x}$=a，
则原方程化为：a²+a-12=0，
（a+4）（a-3）=0，
a₁=-4，a₂=3，
当a₁=-4时，$\sqrt{x}$=-4，无实数解，
当a₂=3时，$\sqrt{x}$=3，x=9，
∴原方程的解为：x=9；
（2）x²+3x+$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=6，
设$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=a，
则原方程化为：a²+a-6=0，
（a+3）（a-2）=0，
a₁=-3，a₂=2，
当a₁=-3时，$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=-3，无实数解，
当a₂=2时，$\sqrt{{x}^{2}+3x}$=2，
x²+3x-4=0，
（x+4）（x-1）=0，
x₁=-4，x₂=1，
∴原方程的解为：x₁=-4，x₂=1．

点评 本题是运用换元法解可化为一元二次方程的无理方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，这种方法叫换元法；此题的关键是恰当地设出新的未知数，把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．