Question

16．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a、b满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{b-6=0}\\{2a-b=10}\end{array}\right.$，且c是不等式2x+2＞3（x-3）的最大整数解．
（1）求a，b，c的值；
（2）若动点E从A出发以每秒2个单位的速度向B点运动，运动到B停止，设点E运动的时间为t秒，若△BCE的周长比△ACE的周长多6，求t的值；
（3）若动点以同样的速度沿A→B→C→A（回到点A停止），设点E运动的时间为t秒，连接点E与三角形的顶点，请问这条线段能平分△ABC的周长吗？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解二元一次方程组求出a，b，根据不等式的整数解求出c，
（2）由△BCE的周长比△ACE的周长多6，建立方程求出时间t，
（3）求出△ABC的周长，由平分它，所以点E运动的路程为12，求出时间t．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{b-6=0}\\{2a-b=10}\end{array}\right.$，得，$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解不等式2x+2＞3（x-3）得，x＜11，
∵c是不等式2x+2＞3（x-3）的最大整数解，∴c=10
即：a=8，b=6，c=10，
（2）由（1）得，a=8，b=6，c=10，
设点E运动的时间为t秒，
∴AE=2t，BE=10-2t，
∵△BCE的周长比△ACE的周长多6，
∴BC+BE+CE-（AC+AE+CE）=6，
∴8+10-2t+CE-（6+2t+CE）=6，
∴t=$\frac{3}{2}$，
（3）能；
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴△ABC的周长为24，
∵过顶点的直线平分△ABC的周长，
∴点E运动的路程为12，
∴2t=12，
∴t=6．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了解方程组，不等式的整数解，三角形的周长，解本题的关键是求出三角形的三边，是一道比较简单是常考题．