Question

16．如图，已知直线y=-x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于E，F两点．若AB=3EF，则k的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（3，0），B（0，3），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=3$\sqrt{2}$，所以EF=$\frac{1}{3}$AB=$\sqrt{2}$，且△DEF为等腰直角三角形，则EF=1；设F点坐标为（t，-t+3），则E点坐标为（t+1，-t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（-t+3）=（t+1）•（-t+2），解得t=$\frac{1}{2}$，这样可确定E点坐标为（t+1，-t+2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2．

解答 解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
∵直线y=-x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3），OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=3$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{3}$AB=$\sqrt{2}$，
∴△DEF为等腰直角三角形，∴FD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=1，
设F点横坐标为t，代入y=-x+3，则纵坐标是-t+3，则F的坐标是：（t，-t+3），E点坐标为（t+1，-t+2），
∴t（-t+3）=（t+1）•（-t+2），解得t=1，
∴E点坐标为（2，1），
∴k=2×1=2．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．