Question

如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）当BF=5，sinF=

3

5

时，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连结AD．先解Rt△BEF，得出BE=BF•sinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，则

FB

FO

=

BE

OC

，设⊙O的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB为⊙O直径，得出AB=15，∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理证明∠F=∠BAD，则由sin∠BAD=

BD

AB

=

3

5

，求出BD的长．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；

（2）解：连结AD．
在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF=

3

5

，
∴BE=BF•sinF=3．
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴

FB

FO

=

BE

OC

．
设⊙O的半径为r，
∴

5

5+r

=

3

r

，
∴r=

15

2

．
∵AB为⊙O直径，
∴AB=15，∠ADB=90°，
∵∠4=∠EBF，
∴∠F=∠BAD，
∴sin∠BAD=

BD

AB

=sinF=

3

5

，
∴

BD

15

=

3

5

，
∴BD=9．

点评：本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．