Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD与边AB互相垂直，AB=8cm，BD=4cm，点E从A点出发，沿折线AD-DB运动，到点B停止．点E在AD上以

5

m/s的速度运动，在DB上以1cm/s的速度运动．当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AB于点F，以EF为边作正方形EFGH，使点G落在线段AF上．设E点的运动时间为t（s）．
（1）当点H落在AD边上时，求t的值；
（2）在E的运动过程中，正方形EFGH与△ABD重合部分的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）当点E到过点D时，另一动点P从点C出发，在线段CD上以8cm/s的速度沿C-D-C连续做往返运动，直至点E与点B重合．连接PE，直接写出点P的运动过程中，满足PE∥BC时t的取值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：解题思想

分析：（1）根据相似三角形，用t表示相关边长；
（2）重叠部分的面积等于正方形的面积减去三角形的面积；
（3）由两直线平行，得出三角形相似，利用相似比，分类讨论．

解答：解：（1）当点E运动到DB边上时，点H才可能落在AD边上．
在直角△ABD中，AD=8cm，BD=4cm．
由勾股定理，得AD=4

5

cm．
从点A运动到点D用时间t=4秒，
则DE=t-4，
∵四边形HEFG是正方形，
∴BE=HE=BD-DE=4-（t-4）=8-t．
∵△DEH∽△DBA，
∴

DE

DB

=

EH

AB

，

t-4

4

=

8-t

8

，
解得t=

16

3

秒
（2）设HG与AD相交于点I，tan∠A=

BD

AB

=

EF

AF

=

IG

AG

=

1

2

，EF=

1

2

AF，IG=

1

2

AG
①当0＜t＜4时，∵△AFE∽△ABD，

AE

AD

=

EF

BD

，AE=

5

t，解得EF=t，AF=2t，GF=t，AG=2t-t=t，IG=

1

2

t．HI=

1

2

t．S=t²-

1

2

×

t

2

×t=

3

4

t^2
②当4＜t＜

16

3

时，设HE与AD相交于点M，tan∠ADF=

AB

BD

=

ME

DE

=2，ME=2DE=2（t-4）=2t-8，GF=EF=4-（t-4）=8-t，AG=AF-GF=8-（8-t）=t，GI=

1

2

t．S=（8-t）²-

1

2

×

t

2

×(16-3t)=

7

4

t²-20t+64
③当

16

3

＜t＜8时，正方形EFGH与△ABD重合部分的面积为正方形EFGH，S=（8-t）²=t²-16t+64．
（3）设点E到过点D后，运动的时间为a，∵PE∥BC，∴△DEP∽△DBC，

DE

DB

=

DP

DC

①P在D→C运动时，DP=8-8a，

a

4

=

8-8a

8

，解得a=

4

5

②P在D→C→D运动时，DP=8a-8，

a

4

=

8a-8

8

，解得a=

4

3

③P在D→C→D→C运动时，DP=24-8a，

a

4

=

24-8a

8

，解得a=

12

5

④P在D→C→D→C→D运动时，DP=8a-24，

a

4

=

8a-24

8

，解得a=4．此时PE与BC重合．
因此满足PE∥BC时t的取值分别为

24

5

秒，

16

3

秒，

32

5

秒．

点评：考查了相似形综合题，灵活运用相似三角形的性质，难度较大，分类情况较多，考虑要全面．