Question

19．如图，四边形OABC是矩形，点A（0，3），点C（6，0），以AC为折痕折叠，点O落在点O′的位置，用两种方法求O′坐标．

Answer 1

分析 解法一：如图作O′M⊥OC于M，交AB于N，想办法求出OM，O′M即可；
解法二：求出直线OO′与直线AC的交点G的坐标，利用中点坐标公式即可解决问题；

解答 解法一：如图作O′M⊥OC于M，交AB于N，

易知AK=CK，设AK=CK=x，
在Rt△BCK中，x²=（6-x）²+3²，
解得x=$\frac{15}{4}$，
∴AK=$\frac{15}{4}$，
在Rt△AO′K中，O′K=$\sqrt{A{K}^{2}-AO{′}^{2}}$=$\frac{9}{4}$，
∵$\frac{1}{2}$•AO′×O′K=$\frac{1}{2}$•AK•O′N，
∴O′N=$\frac{9}{5}$，
在Rt△ANO′中，AN=$\sqrt{AO{′}^{2}-O′{N}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴OM=AN=$\frac{12}{5}$，O′M=$\frac{24}{5}$，
∴O′（$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

解法二：易知直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴直线OO′的解析式为y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$解得G（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∵OG=O′G，
∴O′（$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

点评 主要考查翻折变换、坐标与图形的性质、一次函数的应用、矩形的性质、勾股定理．相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．