【题目】如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .
【答案】
【解析】解:由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短, 如图,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H,
∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2 ,
∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2,
由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°,
∴在Rt△EOH中,EH=OEsin∠EOH=1× = ,
由垂径定理可知EF=2EH= .
故答案为: .
由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF=2EH=20Esin∠EOH=20Esin60°,因此当半径OE最短时,EF最短,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H,在Rt△ADB中,解直角三角形求直径AD,由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°,在Rt△EOH中,解直角三角形求EH,由垂径定理可知EF=2EH.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).动点P在直线y= x上运动,以点P为圆心,PB长为半径的⊙P随点P运动,当⊙P与ABCO的边相切时,P点的坐标为 .
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(2x+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)设方程①的两个实数根分别为x1 , x2 , 当k=1时,求x12+x22的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,CB=16,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是( )
A.50π﹣48
B.25π﹣48
C.50π﹣24
D.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有( )
A.①②③
B.①③④
C.③④⑤
D.②③⑤
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【题目】已知如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG∥BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=CG,连接AE、CD.
(1)求证:△AGE≌△DAC;
(2)过E做EF∥DC.交BC于F.连接AF.判断△AEF是怎样的三角形.并证明你的结论.
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【题目】如图1,在△ABC中,设AB=c,BC=a,AC=b,中线AE,BF相交于G,若AE⊥BF.
(1)①当∠ABF=60°,c=4时,求a与b的值;
②当∠ABF=30°,c=2 时,a= , b=;
(2)由(1)获得启示,猜想a2 , b2 , c2三者之间满足数量关系式是;(直接写出结果)
(3)如图2,在平行四边形ABCD中,AB=4 ,BC=3 ,点E,F,G分别是AD,AB,CD的中点,CF与BG交于P点,若EF⊥FC.利用(2)中的结论,求BG的长.
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