【题目】如图1,在△ABC中,设AB=c,BC=a,AC=b,中线AE,BF相交于G,若AE⊥BF.
(1)①当∠ABF=60°,c=4时,求a与b的值;
②当∠ABF=30°,c=2 时,a= , b=;
(2)由(1)获得启示,猜想a2 , b2 , c2三者之间满足数量关系式是;(直接写出结果)
(3)如图2,在平行四边形ABCD中,AB=4 ,BC=3 ,点E,F,G分别是AD,AB,CD的中点,CF与BG交于P点,若EF⊥FC.利用(2)中的结论,求BG的长.
【答案】
(1);
(2)a2+b2=5c2
(3)
解:取BC的中点H,连接HG,DB,如图2,
∵E,F,G分别是AD,AB,CD的中点,
∴EF∥DB∥HG,
∵BF∥CG,BF=CG,
∴∠BFP=∠GCP,
在△BFP与△PCG中, ,
∴△BFP≌△PCG,
∴PF=CP,
∴P是BG的中点,
又∵EF⊥FC,
∴HG⊥PC,
由(2)可知BC2+BG2=5CG2,
∵AB=4 ,BC=3 ,
∴(3 )2+BG2=5(2 )2,
∴BG= .
【解析】解:(1)①∵AE⊥BF,∠ABF=60°,AB=4,
∴在Rt△ABG中,BG= AB=2,AG=ABcos60°=2 ,
∵AE,BF是△ABC的中线,
∴FG= BG=1a2+b2=5c2
在Rt△AGF中,AF= = ,
∴AC=b=2 ,
同理可得BC=a=2 ;
②当∠ABF=30°,AB=2 ,
∴在Rt△ABG中,AG= AB= ,BG=ABcos30°=3,
∴FG= BG= ,
在Rt△AGF中,AF= = ,
∴AC=b= ,
同理得BC=a= ,
所以答案是: , ;(2)猜想:a2+b2=5c2 ,
由①可知,a2=28,b2=52,c2=16,
∵a2+b2=52+28=80=5×16=5c2 ,
∴a2+b2=5c2 ,
由②可知,a2=39,b2=21,c2=12,
∵a2+b2=39+21=60=5×12=5c2 ,
∴a2+b2=5c2 ,
所以答案是a2+b2=5c2;
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质,掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分即可以解答此题.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .
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【题目】如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求PA+PB的最小值.
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【题目】如图,抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣2(其中m>1)顶点为P,与y轴相交于点A(0,m﹣1).连接并延长PA、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C,连接BC,将△PBC绕点P逆时针旋转得△PB′C′,使点C′正好落在抛物线上.
(1)该抛物线的解析式为(用含m的式子表示);
(2)求证:BC∥y轴;
(3)若点B′恰好落在线段BC′上,求此时m的值.
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【题目】在一次课外实践活动中,老师要求同学们利用测角仪和皮尺估测教学楼AB的高度.同学们在教学楼的正前方D处用高为1米的测角仪测的教学楼顶端A的仰角为30°,然后他们向教学楼方向前进30米到达E处,又测得A的仰角为60°,则教学楼高度AB是多少米?(精确到0.1米,参考数据 =1.732)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1,1),B(﹣3,1),C(﹣1,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2 , 请在图中画出△A2BC2 , 并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).
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【题目】如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:
①BE=GE; ②△AGE≌△ECF; ③∠FCD=45°; ④△GBE∽△ECH,其中,正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】根据道路管理规定,在贺州某段笔直公路上行驶的车辆,限速40千米/时,已知交警测速点M到该公路A点的距离为米,∠MAB=45°,∠MBA=30°(如图所示),现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶,测得此车从A点行驶到B点所用的时间为3秒.
(1)求测速点M到该公路的距离;
(2)通过计算判断此车是否超速.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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【题目】如图,A为某旅游景区的最佳观景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处,返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,BC=110米,DE=9米,BD=60米,α=32°,β=68°,求AC的高度.(参考数据:sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48)
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