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【题目】如图1,在△ABC中,设AB=c,BC=a,AC=b,中线AE,BF相交于G,若AE⊥BF.

(1)①当∠ABF=60°,c=4时,求a与b的值;
②当∠ABF=30°,c=2 时,a= , b=
(2)由(1)获得启示,猜想a2 , b2 , c2三者之间满足数量关系式是;(直接写出结果)
(3)如图2,在平行四边形ABCD中,AB=4 ,BC=3 ,点E,F,G分别是AD,AB,CD的中点,CF与BG交于P点,若EF⊥FC.利用(2)中的结论,求BG的长.

【答案】
(1)
(2)a2+b2=5c2
(3)

解:取BC的中点H,连接HG,DB,如图2,

∵E,F,G分别是AD,AB,CD的中点,

∴EF∥DB∥HG,

∵BF∥CG,BF=CG,

∴∠BFP=∠GCP,

在△BFP与△PCG中,

∴△BFP≌△PCG,

∴PF=CP,

∴P是BG的中点,

又∵EF⊥FC,

∴HG⊥PC,

由(2)可知BC2+BG2=5CG2

∵AB=4 ,BC=3

∴(3 2+BG2=5(2 2

∴BG=


【解析】解:(1)①∵AE⊥BF,∠ABF=60°,AB=4,
∴在Rt△ABG中,BG= AB=2,AG=ABcos60°=2
∵AE,BF是△ABC的中线,
∴FG= BG=1a2+b2=5c2
在Rt△AGF中,AF= =
∴AC=b=2
同理可得BC=a=2
②当∠ABF=30°,AB=2
∴在Rt△ABG中,AG= AB= ,BG=ABcos30°=3,
∴FG= BG=
在Rt△AGF中,AF= =
∴AC=b=
同理得BC=a=
所以答案是: ;(2)猜想:a2+b2=5c2
由①可知,a2=28,b2=52,c2=16,
∵a2+b2=52+28=80=5×16=5c2
∴a2+b2=5c2
由②可知,a2=39,b2=21,c2=12,
∵a2+b2=39+21=60=5×12=5c2
∴a2+b2=5c2
所以答案是a2+b2=5c2
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质,掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分即可以解答此题.

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①BE=GE; ②△AGE≌△ECF; ③∠FCD=45°; ④△GBE∽△ECH,其中,正确的结论有(  )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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