Question

【题目】如图，抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）顶点为P，与y轴相交于点A（0，m﹣1）．连接并延长PA、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C，连接BC，将△PBC绕点P逆时针旋转得△PB′C′，使点C′正好落在抛物线上．

（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；
（2）求证：BC∥y轴；
（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．

Answer 1

【答案】
（1）y= （x﹣m）2+2m﹣2
（2）

证明：如图1，

设直线PA的解析式为y=kx+b，

∵点P（m，2m﹣2），点A（0，m﹣1）．

∴ ．

解得： ．

∴直线PA的解析式是y= x+m﹣1．

当y=0时， x+m﹣1=0．

∵m＞1，

∴x=﹣m．

∴点B的横坐标是﹣m．

设直线OP的解析式为y=k′x，

∵点P的坐标为（m，2m﹣2），

∴k′m=2m﹣2．

∴k′= ．

∴直线OP的解析式是y= x．

联立

解得： 或 ．

∵点C在第三象限，且m＞1，

∴点C的横坐标是﹣m．

∴BC∥y轴

（3）

方法一：

解：若点B′恰好落在线段BC′上，

设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，

则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．

∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，

∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．

∴∠PBC+∠PB'B=180°．

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO=180°．

∴∠PB′B=∠BAO．

∵PB=PB′，PC=PC′，

∴∠PB′B=∠PBB′= ，

∴∠PCC′=∠PC′C= ．

∴∠PB′B=∠PCC′．

∴∠BAO=∠PCC′．

∵点C关于直线l的对称点为C′，

∴CC′⊥l．

∵OD⊥l，

∴OD∥CC′．

∴∠POD=∠PCC′．

∴∠POD=∠BAO．

∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，

∴△BAO∽△POD．

∴ ．

∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，

∴ ．

解得：m1=2+ ，m2=2﹣ ．

经检验：m1=2+ ，m2=2﹣ 都是分式方程的解．

∵m＞1，

∴m=2+ ．

∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+ ．

方法二：

∵点C关于直线l的对称点为C″，

∴Px= ，

∵C（﹣m，2﹣2m），P（m，2m﹣2），

∴m= ，

∴C′X=3m，

∴C′（3m，2﹣2m），

∵将△PBC绕点P逆时针旋转，

∴△BCP≌△B′C′P，

∵点B′恰好落在线段BC′上，

∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P，

∴点P，B，C，C′四点共圆，（同侧共底的两个三角形顶角相等，则四点共圆）

∵CY=C′Y=2﹣2m，

∴CC′⊥BC，

∴BC′为P，B，C，C′四点共圆所在圆的直径，

∴BP⊥C′P，

∴KBP×KC′P=﹣1，

∵P（m，2m﹣2），

∴C′（3m，2﹣2m），B（﹣m，0），

∴ =﹣1，

∴m2﹣4m+2=0，

∴m1=2﹣ ，m2=2+ ，

∵m＞1，

∴m=2+ ．

【解析】（1）解：∵A（0，m﹣1）在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2上，
∴a（0﹣m）2+2m﹣2=m﹣1．
∴a= ．
∴抛物线的解析式为y= （x﹣m）2+2m﹣2．
所以答案是：y= （x﹣m）2+2m﹣2．