Question

如图，直角坐标系，A点是第二象限一点，AB⊥x轴于B，且C（0，2）是y轴正半轴上一点，OB-OC=2，S_{四边形ABOC}=11．
（1）求A点坐标；
（2）设D为线段OB上一动点，当∠COE=∠A时，CD与AC之间存在怎样的位置关系，并证明；
（3）当D点在线段OB上运动时，作DE⊥CD交于AB于E，∠BED和∠DCO的平分线交于M，现给出两个结论：
①∠M的大小不变；
②∠BED+∠CDO的大小不变．
其中只有一个结论正确，请你判断哪个结论正确，并说明理由．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：计算题

分析：（1）由C点坐标得到OB=2+OC=4，则B点坐标为（-4，0），设A点坐标为（-4，b），根据梯形的面积公式得到

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，则A点坐标为（-4，

7

2

）；
（2）作CH⊥AB于H，如图1，证明Rt△OCD∽Rt△HCA，理由相似比即可得到

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

=

1

2

；
（3）如图2，连结EC，根据角平分线的定义得∠1=∠2，∠3=∠4，由DE⊥DC得到∠EDC=90°，则∠BDE+∠CDO=90°，利用等角的余角相等得到∠BED=∠CDO，可判断②错误；得到∠1+∠2+∠3+∠4=90°，所以∠3+∠2=45°，在△MEC中，根据三角形内角和定理得到∠M+∠3+∠2+∠DEC+∠DCE=180°，于是可计算出∠M=45°．

解答：解：（1）∵C（0，2），OB-OC=2，
∵OB=2+OC=2+2=4，
∴B点坐标为（-4，0），
设A点坐标为（-4，b），
∴

1

2

（2+b）•4=11，解得b=

7

2

，
∴A点坐标为（-4，

7

2

）；
（2）CD=

1

2

AC．理由如下：
作CH⊥AB于H，如图1，
∴∠CDO=∠A，
∴Rt△OCD∽Rt△HCA，
∴

CD

AC

=

OC

CH

=

2

4

，
即CD=

1

2

AC；
（3）结论①正确．理由如下：
如图2，连结EC，
∵∠BED和∠DCO的平分线交于M，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DE⊥DC，
∴∠EDC=90°，
∴∠BDE+∠CDO=90°，
∴∠BED=∠CDO，所以②错误；
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠3+∠2=45°，
在△MEC中，∠M+∠3+∠2+∠DEC+∠DCE=180°，
∴∠M=180°-90°-45°=45°，
即∠M的大小不变．

点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了相似的判定与性质和三角形内角和定理．