Question

19．如图，直线y=$\frac{1}{5}$x-1与x轴、y轴分别相交于B、A，点M为双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，若△AMB是以AB为底的等腰直角三角形，求S_△MAB及k的值．

Answer 1

分析 直线y=$\frac{1}{5}$x-1与x轴、y轴分别相交于B、A，即可求得A、B两点坐标；由△AMB是以AB为底的等腰直角三角形，可求得AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，易求得∠MAD=∠MBC，即可利用AAS判定：△AMD≌△BMC，可得AD=BC，DM=CM，即可得OC=OD，又由OA=1，OB=5，即可求得点M的坐标，继而求得k的值．

解答 解：作MD⊥y轴于点D．MC⊥x轴于点C．
∵直线y=$\frac{1}{5}$x-1与x轴，y轴分别相交于B、A，
∴当x=0时，y=-1；当y=0时，x=5，
∴A点坐标的坐标为（0，-1），B点坐标为（5，0）；
∵△AMB是以AB为底的等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°，
∴∠MAD+∠OBA=45°，
∵∠MBC+∠OBA=45°，
∴∠MAD=∠MBC，
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
在△AMD和△BMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠MBC}\\{∠ADM=∠BCM}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BMC（AAS）；
∴AD=BC，DM=CM，
∵∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四边形OCMD是正方形，
∵OA=1，OB=5，
则在直角△OAB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
则等腰△AMB中，AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{13}$．
则△MAB的面积是$\frac{1}{2}$AM•BM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=$\frac{13}{2}$．
设OD=x，
则AD=x+1，BC=5-x，
∵AD=BC，
∴x+1=5-x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴点M的坐标为：（2，2），
∴k=xy=4．

点评 此题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．