Question

7．如图1，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），于x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在线段AB上存在一动点K（点K不与点A重合），设点K的坐标为（t，0）（t＞0），过K作KF⊥AB交射线AN于点F，以KF为一边在KF的右侧作正方形KFGH，又使△OCG为等腰三角形，求此时正方形KFGH的边长．
93）直线y=mx+2与已知抛物线交于T，Q两点，是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的园恰好过坐标原点，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）按抛物线的顶点坐标设出解析式，再将点N坐标代入即可；
（2）先确定出直线AN解析式，进而表示出点F，即可得出正方形的边长，再表示出点G坐标，最后分三种情况用两边相等建立方程求解即可．
（3）存在．如图设T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别过T、Q作TE⊥y轴，QG⊥x轴，联立直线TQ解析式与抛物线解析式，可得x₁，y₁，x₂，y₂之间的关系，当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，利用互余关系可证△TOE∽△QOG，利用相似比得出线段关系，结合x₁，y₁，x₂，y₂之间的关系求m的值

解答 解：（1）∵抛物线的顶点M的坐标为（1，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
∵抛物线经过点N（2，3），
∴3=a（2-1）²+4，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，0=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵N（2，3），
∴直线AN的解析式为y=x+1，
∵K作KF⊥AB交射线AN于点F，设点K的坐标为（t，0）（t＞0），
∴F（t，t+1），
∴FK=t+1，
∵以KF为一边在KF的右侧作正方形KFGH，
∴H（2t+1，0），G（2t+1，t+1），
∵C（0，3），
∴OC=3，OG²=（2t+1）²+（t+1）²，CG²=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∵△OCG为等腰三角形，
∴①当OC=OG时，
∴OC²=OG²，
∴9=（（2t+1）²+（t+1）²，
∴t=$\frac{-3-2\sqrt{11}}{5}$（不符合题意，舍）或t=$\frac{-3+2\sqrt{11}}{5}$，
∴t+1=$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，
∴正方形KFGH的边长为$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，
②当OC=CG时，
∴OC²=CG²，
∴9=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∴t=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（不符合题意，舍）或t=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴t+1=$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$，
∴正方形KFGH的边长为$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$，
③当OG=CG时，
∴OG²=CG²，
∴（（2t+1）²+（t+1）²=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∴t=$\frac{1}{2}$，
∴t+1=$\frac{3}{2}$，
∴正方形KFGH的边长为$\frac{3}{2}$．
即：正方形KFGH的边长为$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$或$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$或$\frac{3}{2}$．

（3）存在．
如图设T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别过T、Q作TE⊥y轴，QG⊥x轴，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=mx+2}\end{array}\right.$，
解得：x²+（m-2）x-1=0，
则x₁+x₂=2-m，x₁x₂=-1，
当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，
则∠TOE+∠EOQ=∠EOQ+∠QOB=90°，
则∠TOE=∠QOB，而∠TEO=∠QGO=90°，
所以，△TOE∽△QOG，
则$\frac{TE}{QG}$=$\frac{OE}{OG}$，
即$\frac{-{x}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
x₁x₂+y₁y₂=0，-1+（mx₁+2）（mx₂+2）=0，
-1+m²x₁x₂+2m（x₁+x₂）+4=0，
-1-m²+2m（2-m）+4=0，整理，得3m²-4m-3=0，
解得：m=$\frac{2±\sqrt{13}}{3}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法、正方形的性质、等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论和相似三角形的判定与性质．