Question

16．在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，若EF=1，则正方形的边长为2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先由正方形ABCD中，∠BAE=22.5°，证得DA=DE，设正方形的边长为x，得出DE=AD=x，BD=$\sqrt{2}$x．由勾股定理求出BE，得出BD=x+$\sqrt{2}$，得出方程，解方程即可．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°．
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=67.5°，
∴∠DEA=67.5°．
∴DA=DE，
设正方形的边长为x，
∴DE=AD=x，BD=$\sqrt{2}$x．
∵∠ABD=45°，EF⊥AB，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF=1，
∴BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$，
∴BD=DE+BE=x+$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$x=x+$\sqrt{2}$，
解得：x=2+$\sqrt{2}$，即
正方形的边长为2+$\sqrt{2}$；
故答案为：2+$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意证得△ADE是等腰三角形是解此题的关键．