如图.在平面直角坐标系中.二次函数y=$\frac{3}{2}$x2-$\frac{9}{2}$x+3的图象与x轴交于A.B两点.与一次函数y=kx+3的图象交于C.D两点.连接AC.BC．(1)求△ABC的面积,(2)小明研究发现:若连接BD.则存在点D.使△ABC≌△DBC.请你判定小明的发现是否正确.若正确请求出点D的坐标.若不正确请说明理由,(3)若点P是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3的图象与x轴交于A、B两点，与一次函数y=kx+3的图象交于C、D两点，连接AC、BC．
（1）求△ABC的面积；
（2）小明研究发现：若连接BD，则存在点D，使△ABC≌△DBC，请你判定小明的发现是否正确，若正确请求出点D的坐标，若不正确请说明理由；
（3）若点P是一次函数y=kx+3图象上的一个动点，当以A、B、P为顶点的等腰三角形有且只有4个时，求k的值．

分析（1）对于二次函数二次函数y=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3，令x=0得到y=3，令y=0，得到$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3=0，解得x=1或2，可得A（1，0），B （2，0），C（0，3），由此即可解决问题．
（2）小明的发现是错误的．理由全等三角形的性质求出点D的坐标，再判断是否在抛物线上即可．
（3）如图2中，分别以A、B为半径1为半径画圆，当直线y=kx+3与⊙A相切时，以A、B、P为顶点的等腰三角形有且只有4个．求出切点P₁的坐标即可解决问题．

解答解：（1）对于二次函数二次函数y=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3，令x=0得到y=3，令y=0，得到$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3=0，解得x=1或2，
∴A（1，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=1，OB=2，OC=3，AB=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$．

（2）小明的发现是错误的．
理由：如图1中，连接AD交BC于H．

假设存在点D，使得△ABC≌△DBC．设D（m，n）．
∵CA=CD，BA=BD，
∴BC垂直平分线段AD，
∵B（2，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，直线AD的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{22}{13}}\\{y=\frac{6}{13}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{22}{13}$，$\frac{6}{13}$），
∵AH=DH，
∴$\frac{1+m}{2}$=$\frac{22}{13}$，$\frac{0+n}{2}$=$\frac{6}{13}$，
∴m=$\frac{31}{13}$，n=$\frac{12}{13}$，
∴D（$\frac{31}{13}$，$\frac{12}{13}$），
∵x=$\frac{31}{13}$时，y═$\frac{3}{2}$•（$\frac{31}{13}$）²-$\frac{9}{2}$•$\frac{31}{13}$+3=$\frac{135}{169}$，
∴点D不在抛物线的图象上，
∴小明的发现是错误的．

（3）如图2中，分别以A、B为半径1为半径画圆，当直线y=kx+3与⊙A相切于P₁时，以A、B、P为顶点的等腰三角形有且只有4个（见图中）．

∵CO=CP₁，OA=AP₁
∴AC垂直平分线段OP₁，
∵直线AC的解析式为y=-3x+3，直线OP₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=-3x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{10}}\\{y=\frac{3}{10}}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{9}{10}$，$\frac{3}{10}$），
∵OG=GP₁，
∴P₁（$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$），代入y=kx+3得到，k=-$\frac{4}{3}$．
∴满足条件的k的值为-$\frac{4}{3}$．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组切点交点坐标，属于中考压轴题．

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