Question

一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
①如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求直线EC解析式；
②在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线y=x²+bx+c上，求b，c的值；
③若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l的解析式．

Answer 1

分析：①本题的关键是求出E点的纵坐标，即AE的长，连接DE，根据折叠的性质可知BE=DE，设AE=x，那么BE=DE=4-x，在直角三角形ODC中，BC=5，OC=4，根据勾股定理可得出OD=3，那么AD=2，因此在直角三角形DEA中，根据勾股定理有x²+2²=（4-x）²，据此可求出AE的长，也就得出了E点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线CE的解析式．
②本题考的是用待定系数法求二次函数的解析式，关键是求出P点的坐标．过P作PG⊥OA于G，那么PG是三角形DAB的中位线，因此PG=

1

2

AB=2，DG=

1

2

AD=1，据此可求出P点坐标为（4，2）．然后将B，P坐标代入抛物线的解析式中即可求出b，c的值．
③本题要分两种情况进行讨论：
1、当F在x轴上时，可仿照②的解法，过Q作x轴的垂线，那么不难得出Q点的纵坐标为AB的一半即为2，然后将其代入抛物线的解析式中即可求出Q点的坐标．
2、当F在y轴上时，方法与一类似，只不过是过Q作y轴的垂线，得出Q的横坐标为BC的一半即

5

2

，然后方法同一．

解答：解：①连接DE，
∵根据折叠的性质可知BE=DE，
设AE=x，则BE=DE=4-x，
在Rt△OCD中，BC=CD=5，OC=4，
∴OD=3，
∴AD=2，
∴在Rt△DEA中，x²+2²=（4-x）²，解得x=

3

2

，
∴E（5，

3

2

），
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴

b=4 5k+b= 3 2

，解得

k=-0.5 b=4

，
∴直线CE的解析式为：y=-0.5x+4；

②过P作PG⊥x轴于G

据题知，PG∥AB，PD=PB
∴PG=

1

2

AB=2，DG=

1

2

AD=1
∴P点坐标为（4，2）
∵点P，B在抛物线y=x²+bx+c上
∴b=-7，c=14；

③当点F在x轴上时，过Q作QM⊥x轴于M

同②可知QM=

1

2

AB=2，则Q点的纵坐标为2
得x²-7x+14=2
∴x=3或x=4
∴Q点的坐标为（3，2）或（4，2）
当Q点坐标为（3，2）时，如图，OM=3，MA=2，FA=4
AB=4
FA=AB，而l为BF的中垂线
∴点A在l上
∴l的解析式为y=-x+5
当Q点坐标为（4，2）时，如图，OM=4，MA=1，OF=1，BF=5，而CB=5．
∴BF=CB
∵l为BF的中垂线，
∴点C在l上，
∴l的解析式为y=-

1

2

x+4．
当点F在y轴上时，可求得Q（

5

2

，

11

4

），l与y轴交点为（0，

31

4

）
∴l的解析式为y=-2x+

31

4

．
综上，l的解析式为y=-x+5或y=-

1

2

x+4或y=-2x+

31

4

．

点评：本题着重考查了矩形的性质、图形翻折变换、中位线定理以及一次函数和二次函数的相关知识等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．