Question

如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，AB=8cm，BC=6cm，将△ABC沿射线DE的方向以2cm/秒的速度平移，在平移过程中，是否存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：首先由全等三角形的性质，得出∠ABC=∠FDE=90°，再结合勾股定理得出AC=EF=10．假设△ABC沿射线DE的方向平移，在平移过程中，存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，则分三种情况分别讨论：（1）以AE为底；（2）以EF为底；（3）以AF为底．

解答：解：∵Rt△ABC≌Rt△FDE，
∴∠ABC=∠FDE=90°，AC=EF，
又∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=EF=10．
假设△ABC沿射线DE的方向平移，在平移过程中，存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，则BD=2t．
分三种情况：
（1）以AE为底，则有AF=FE，即AD=DE，可列方程：8-2t=6，解得t=1；
（2）以EF为底，则有AE=AF．
∵AE²=（14-2t）²，由勾股定理可得AF²=（8-2t）²+8²，
∴（14-2t）²=（8-2t）²+8²，解得t=

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；
（3）以AF为底，则有AE=EF，
若B在线段DE上（如图1），可列方程：14-2t=10，解得t=2；

若B在线段DE的延长线上（如图2），

可列方程2t-14=10，解得t=12．
综上所述，存在当t=1S，2S，

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S，12S时，△AEF是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理及平移的性质，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．