Question

如图，Rt△AOC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=

3

，∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使边OC落在边AC上，点O与D重合，折痕为CE．
（1）求CE所在直线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）在直线CE上是否存在点M，使△CMD为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）因为∠CAO=30°，由折叠可知∠OCE=∠ECD=

1

2

∠OCA=30°，在Rt△COE中，利用三角函数可求OE的长度，从而可求点E的坐标．然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）在Rt△AOC中，利用三角函数可求出AC、AO的值，过点D作DF⊥OA于点F，利用三角函数即可求得DF的长进而求得AF，从而求得D的坐标；
（3）分CD是底边、C是顶角定点且M在线段CE上，以及C是顶角定点且M在EC的延长线上，和D是顶角定点四种情况讨论，利用三角形相似即可求解．

解答：解：解：（1）由题意知∠CAO=30°，
∴∠OCE=∠ECD=

1

2

∠OCA=30°，
∴在Rt△COE中，OE=OC•tan∠OCE=

3

×

3

3

=1，
∴点E的坐标是（1，0），
设直线CE的解析式为y=kx+b．
把点C（0，

3

），E（1，0）代入得

b= 3 b+k=0

，
∴

b= 3 k=- 3

，
∴直线CE的解析式为y=-

3

x+

3

．

（2）在Rt△AOC中，AC=

OC

sin∠CAO

=2

3

，
AO=

OC

tan∠CAO

=3，
∵CD=OC=

3

，
∴AD=AC-CD=2

3

-

3

=

3

，
过点D作DF⊥OA于点F，
在Rt△AFD中，DF=AD•sin∠CAO=

3

2

，
AF=AD•cos∠CAO=

3

2

，
∴OF=AO-AF=

3

2

．
∴点D的坐标是（

3

2

，

3

2

）．
（3）①当CD是等腰△CDM的底边时，设M是M1，MC=MD，
则∠DCE=∠CDM=30°，则∠DME=30°+30°=60°，
则△MDE是等边三角形，则ME=CM，M是CE的中点，故M的坐标是（

1

2

，

3

2

）；
②当CD是等腰△CDM的腰时：CD=

1

2

AC=

3

，CE=

12+( 3 )2

=2，
当C是等腰三角形的顶角顶点时，当M在线段CE上时，M₂点时，CM2=CD=

3

，作M₂H⊥OA，
则M₂H∥OC，
∴△OCE∽△HM2E，
∴

EH

OE

=

EM2

CE

=

HM2

OC

，即

EH

1

=

2- 3

2

=

HM2

3

，
解得：EH=

2- 3

2

，HM2=

3

-

3

2

，
则OH=1-EH=

3

2

，
则M₂的坐标是：（

3

2

，

3

-

3

2

）；
③当CD是等腰△CDM的腰，当C是等腰三角形的顶角顶点时，当M在线段EC的延长线上时，同②可得M₃，坐标是（-

3

2

，

3

+

3

2

）；
④当CD是等腰△CDM的腰，当D是等腰三角形的顶角顶点时，过D作DK⊥CE，于点K．
则CK=CD•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
则CM4=3，
同②可得M4的坐标是（

3

2

，-

3

2

）．

点评：本题的解决需要综合运用待定系数法、三角函数等知识，另外解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．