Question

3．如图，△ABC中，DE是一条中位线，延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．
（1）判断线段AD与CF的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AC=BC，连接DC，AF，求证：四边形ADCF是矩形．

Answer 1

分析 （1）首先利用中位线定理得到AE=EC，从而证得△AED≌△CEF，进而证得AD=CF，AD∥CF；
（2）首先判断四边形ADCF是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形即可．

解答 证明：（1）∵DE是中位线，
∴AE=EC，
∵∠AED=∠CEF，DE=EF，
∴△AED≌△CEF，
∴AD=CF，∠A=∠ACF，
∴AD∥CF，
即：AD=CF，AD∥CF；

（2）∵AD=CF，AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC=BC，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是能够利用中位线定理得到平行线及相等的线段，难度不大．