Question

18．如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上一边，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE，”
（1）你认为结论EF⊥AE正确吗？若正确，说明理由．（提示：过E做EG⊥AF于G）
（2）他又将“正方形”改为“矩形”（ 如图②），其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论，你同意小明的观点吗？（不需证明）
（3）他又将“正方形”改为“菱形”和“任意平行四边形”（分别如图③④），其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论，你同意小明的观点吗？若同意，请你任意选③④中的一种加以证明，若不同意，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
（2）同（1），延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得；
（3）同（1），延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．

解答 （1）证明：如图①，延长AE交BC的延长线与点M．
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
在△AED与△MEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=EC}\\{∠AED=∠MEC}\\{∠DAM=∠M}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
（2）如图②，延长AE交BC的延长线与点M．

∵在长方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
在△AED与△MEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=EC}\\{∠AED=∠MEC}\\{∠DAM=∠M}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
（3）解：EF⊥AE仍然成立．理由如下：
如图③，延长AE交BC的延长线与点M，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
在△AED与△MEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=EC}\\{∠AED=∠MEC}\\{∠DAM=∠M}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一定理，把证明垂直的问题转化为证明等腰三角形底边上的中线的问题．