Question

17．现有一块直角三角形的铁皮ABC，∠ACB=90°，AC=80，BC=60，要在其中剪出一个面积尽可能大的正方形，小红和小亮各想出了甲，乙两种方案，请你帮忙算一算哪一种方案剪出的正方形面积较大？

Answer 1

分析 对于方案甲：先利用勾股定理计算出AB=100，再利用面积法计算出CD=48，设正方形EFGH的边长为x，则EF=EH=MD=x，证明△CEH∽△CAB，然后利用相似比可计算出x=$\frac{1200}{37}$；对于方案乙：设正方形EFGH的边长为y，则EF=FG=y，AF=80-y，证明△AGF∽△ABC，利用相似比可计算出y=$\frac{240}{7}$，然后比较x和y的大小即可判断哪一种方案剪出的正方形面积较大．

解答 解：方案甲：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{60×80}{100}$=48，
设正方形EFGH的边长为x，则EF=EH=MD=x，
∵EH∥AB，
∴△CEH∽△CAB，
∴$\frac{EH}{AB}$=$\frac{CM}{CD}$，即$\frac{x}{100}$=$\frac{48-x}{48}$，解得x=$\frac{1200}{37}$；
方案乙：设正方形EFGH的边长为y，则EF=FG=y，AF=80-y，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{y}{60}$=$\frac{80-y}{80}$，解得y=$\frac{240}{7}$，
∵$\frac{240}{7}$=$\frac{1200}{35}$＞$\frac{1200}{37}$，
即x＜y，
∴方案乙剪出的正方形面积较大．

点评 本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，然后利用三角形相似的性质求相应线段的长．