Question

9．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD于E，已知AE=5，CE=1，BE=3．求⊙O的半径．

Answer 1

分析 作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，由相交弦定理得出DE•CE=AE•BE，求出DE=15，得出CD=CE+DE=16，由垂径定理得出得出AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=4，DG=$\frac{1}{2}$CD=8，得出EF=BF-BE=1，证出四边形OGEF为矩形，得出OG=EF=1，在Rt△ODG中，由勾股定理求出OD即可．

解答 解：作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，如图所示：
由相交弦定理得：DE•CE=AE•BE，即DE×1=5×3，
∴DE=15，
∴CD=CE+DE=16，∵OF⊥AB，AB=AE+BE=8，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴EF=BF-EE=4-3=1，
又OG⊥CD，OF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠OGE=∠GEF=∠OFE=90°，DG=$\frac{1}{2}$CD=8，
∴四边形OGEF为矩形，
∴OG=EF=1，
在Rt△ODG中，OG=1，CG=8，
根据勾股定理得：OD=$\sqrt{O{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
则圆O的半径为$\sqrt{65}$．

点评 此题考查了相交弦定理、垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；根据图形作出相应的辅助线是解本题的关键．